题目背景

本题中合法括号串的定义如下:

  1. $\text{()}$ 是合法括号串。
  2. 如果 $\text{A}$ 是合法括号串,则 $\text{(A)}$ 是合法括号串。
  3. 如果 $\text{A , B}$ 是合法括号串,则 $\text{AB}$ 是合法括号串。

本题中子串与不同的子串的定义如下:

字符串 $\text{S}$ 的子串是 $\text{S}$ 中连续的任意个字符组成的字符串。

$\text{S}$ 的子串可用起始位置 $l$ 与终止位置 $r$ 来表示,记为 $S (l , r)$,($1 \leq l \leq r \leq |S|$,$|S|$ 表示 $S$ 的长度)。

$S$ 的两个子串视作不同当且仅当它们在 $S$ 中的位置不同,即 $l$ 不同或 $r$ 不同。


题意描述

一个大小为 $n$ 的树包含 $n$ 个结点和 $n - 1$ 条边,每条边连接两个结点,且任意两个结点间有且仅有一条简单路径互相可达。

小 Q 是一个充满好奇心的小朋友,有一天他在上学的路上碰见了一个大小为 $n$ 的树,树上结点从 $1 \sim n$ 编号,$1$ 号结点为树的根。除 $1$ 号结点外,每个结点有一个父亲结点,$u$($2 \le u \le n$)号结点的父亲为 $f_u$($1 \le f_u < u$)号结点。

小 Q 发现这个树的每个结点上恰有一个括号,可能是 ()。小 Q 定义 $s_i$ 为:将根结点到 $i$ 号结点的简单路径上的括号,按结点经过顺序依次排列组成的字符串。

显然 $s_i$ 是个括号串,但不一定是合法括号串,因此现在小 Q 想对所有的 $i$($1 \le i \le n$)求出,$s_i$ 中有多少个互不相同的子串合法括号串

这个问题难倒了小 Q,他只好向你求助。设 $s_i$ 共有 $k_i$ 个不同子串是合法括号串,你只需要告诉小 Q 所有 $i \times k_i$ 的异或和,即:

其中 $\text{xor}$ 是位异或运算。


输入格式

第一行一个整数 $n$,表示树的大小。

第二行一个长为 $n$ 的由$\text{(}$ 与$\text{)}$ 组成的括号串,第 $i$ 个括号表示 $i$ 号结点上的括号。

第三行包含 $n − 1$ 个整数,第 $i$ 个整数表示 $i + 1$ 号结点的父亲编号 $f_{i+1}$


输出格式

输出仅一行,包含一个整数表示答案。


Input & Output ‘s examples

Input ‘s eg

5
(()()
1 1 2 2

Output ‘s eg

6

样例解释

树的形态如下图:

tree

将根到 $1$ 号结点的简单路径上的括号,按经过顺序排列所组成的字符串为 $\text{(}$,子串是合法括号串的个数为 $0$。

将根到 $2$ 号结点的字符串为 $\text{((}$子串是合法括号串的个数为 $0$。

将根到 $3$ 号结点的字符串为 $\text{()}$子串是合法括号串的个数为 $1$。

将根到 $4$ 号结点的字符串为 $\text{(((}$,子串是合法括号串的个数为 $0$。

将根到 $5$ 号结点的字符串为 $\text{(()}$,子串是合法括号串的个数为 $1$。


数据范围和约定

测试点编号 $n\le $ 特殊性质
$1\sim 2$ $8$ $f_i=i-1$
$3\sim 4$ $200$ $f_i=i-1$
$5\sim 7$ $2\times 10^3$ $f_i=i-1$
$8\sim 10$ $2\times 10^3$
$11\sim 14$ $10^5$ $f_i=i-1$
$15\sim 16$ $10^5$
$17\sim 20$ $5\times 10^5$

分析

md考场上没调出来这题真的血亏

可以先考虑一下$50$分的部分分,即对于一条链的情况是怎么做的。

显然,对于一条链,可以设$fin[i]$表示以$i$结尾的子串中合法括号串的数目,$last[i]$表示以$i$结尾的子串中上一个没有匹配的左括号的位置。

则对于一个新的位置$i$,如果它是(,则$last[i] = i$。

若是)的话,则$fin[i] = 1 + fin[last[i]]$,$last[i] = last[last[i]]$

现在思考如何搬到树上。

树上和链上最大的区别在于树上转移时并不是从上一个节点转移,而是从父节点转移

因此,我们只需要将转移时的上一个节点全部改为父节点,即$fin[i] = 1 + fin[fa[last[i]]]$,$last[i] = last[fa[last[i]]]$,然后套上一个$\text{dfs}$。

最后别忘了按照题目要求全部$\text{xor}$一遍。

剩下的细节详见代码。


Code[Accepted]

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cctype>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>

#define I inline
#define ll long long
#define pb push_back
#define MP make_pair
#define ull unsigned long long
#define PII pair<int , int>
#define PIL pair<int , long long>
#define PSL pair<string , long long>
#define PLL pair<long long , long long>
#define all(x) (x).begin() , (x).end()
#define copy(a , b) memcpy(a , b , sizeof(a))
#define clean(a , b) memset(a , b , sizeof(a))
#define rep(i , l , r) for (int i = (l); i <= (r); i ++)
#define per(i , r , l) for (int i = (r); i >= (l); i --)
#define PE(i , x) for(int i = head[x]; i; i = edge[i].last)
#define DEBUG(x) std :: cerr << #x << '=' << x << std :: endl

using namespace std;

const int N = 10001;
const int M = 500001;
const int HA = 998244353;
const int INF = 2147483647;
const long long INFL = 9223372036854775807;

int n;

struct Edge{
int to , last;
}edge[M << 1];

int edge_num;
int head[M << 1];

I void add_edge(int from , int to){
edge[++ edge_num] = (Edge){to , head[from]};
head[from] = edge_num;
}

int fa[M << 1];
char s[M << 1];

ll fin[M << 1] , last[M << 1];

void dfs(int x){
last[x] = last[fa[x]];
if(s[x] == '(') last[x] = x;
else if(last[x] != 0){
fin[x] = fin[fa[last[x]]] + 1;
last[x] = last[fa[last[x]]];
}
PE(i , x){
int to = edge[i].to;
dfs(to);
}
}

int main() {
#ifdef LOCAL
freopen("try.in" , "r" , stdin);
freopen("try1.out" , "w" , stdout);
#endif
scanf("%d" , &n);
scanf("%s" , s + 1);
rep(i , 2 , n){
int x; scanf("%d" , &x);
fa[i] = x;
add_edge(x , i);
}
dfs(1);
ll ans = fin[1];
rep(i , 2 , n){
fin[i] += fin[fa[i]];
ans ^= (i * fin[i]);
}
printf("%lld\n" , ans);

return 0;
}

THE END